4.3 Noción de cálculo de la integral definida

Supongamos la necesidad de calcular el área bajo una curva cualquiera.

Para los ejemplos vistos aquí suponemos siempre una f(x) no negativa.

Para el caso supondremos y queremos calcular el área limitada por la parábola y el eje x, en el intervalo .

Primera posibilidad

Dividir el intervalo en cuestión en dos sub - intervalos y originar dos rectángulos de base 8 y como altura el valor máximo que toma la función en cada uno de esos intervalos.

Queda claro que el área obtenida es mayor que el área buscada.

También queda claro que a medida que aumentemos la cantidad de rectángulos, disminuyendo su base, este exceso es menor.

Este procedimiento se muestra a continuación.

Ahora vemos gráficamente como el valor obtenido como área va disminuyendo, es decir que va disminuyendo el exceso:

Verifique numéricamente este ejemplo, estableciendo las coordenadas para cada punto que origina el gráfico.

Segunda posibilidad

Dividir el intervalo en cuestión en dos sub - intervalos y originar dos rectángulos de base 8 y como altura el valor mínimo que toma la función en cada uno de esos intervalos.

Queda claro que el área obtenida menor que el área buscada.

También queda claro que a medida que aumentamos la cantidad de rectángulos, disminuyendo su base, este defecto es menor.

Este procedimiento se muestra a continuación.

Ahora vemos gráficamente como el valor obtenido como área va aumentando, es decir que va disminuyendo el defecto.

Verifique numéricamente este ejemplo, estableciendo las coordenadas para cada punto que origina el gráfico.

Como se ve en el gráfico, ambas sumas convergen hacia un valor determinado, que es el valor exacto del área que estamos buscando.

Luego podemos decir que el área A que buscamos es un valor comprendido entre las sumatorias de las áreas de los rectángulos generados por exceso y los generados por defecto.

Podemos simbolizarlo de la siguiente forma:

Donde n es la cantidad de rectángulos determinados por los procedimiento mencionados.

En general diremos

donde:

a: Límite inferior de integración

b: Límite superior de integración

f(x): la función en cuestión.

Deduzca que simboliza dx. (Recuerde el área del rectángulo)

Recuerde la explicación de "la suavización de "

Y leeremos: el valor de la integral de f(x) definida entre a y b es igual a A.

Para resolver aplicamos la conocida como fórmula de Newton - Leibnitz:

Donde:

F'(x)+c = f(x)

F(x) se denomina "la primitiva de f(x)"

Para nuestro ejemplo inicial:

Cálculo del valor de A:

Ahora compare con el estudio anterior

Cosas

Halle las siguientes integrales:

En ambos casos grafique, observe detenidamente y compruebe el resultado obtenido mediante otro método.

Halle el valor del área sombreada:

Enuncie el ejercicio anterior de dos maneras diferentes.

*..........................................

*..........................................

Por si queda algún sector del cerebro sin estimular:

El perro está parado justo en la mitad de la escalera (ac). Un extremo (a) de la escalera está apoyado en la pared (b). El otro extremo (c) está apoyado sobre el piso (d). El piso está recién encerado y la escalera se desliza. Dibuje la trayectoria del perro (que sigue firme en la escalera, pese a todo). Y aproveche para descansar un poco.

Halle el valor del área rayada:

Discuta mucho antes de rendirse. Aquí se aplican una gran variedad de conceptos explicados anteriormente. Por si no está claro, diremos que la pendiente de la recta que pasa por el origen (y su paralela) es 1.y c en la cuadrática es 9.

Solamente si es estrictamente necesario recurra a las siguientes ayudas en forma gradual

En este punto deberíamos tener un enunciado equivalente al anterior, del tipo:

Determine el área limitada por estas tres funciones:

f(x)= x

g(x)= x+2

Si llegado a aquí no tiene idea de como resolver recurra a la página siguiente y resuelva. Recuerde que esta descomposición en áreas no es única. Luego de resolver halle otras y verifique los resultados.

Para finalizar mostramos la situación en cuestión resuelta por alguien que no entendió mucho la idea de orden. Lástima, tal vez los resultados estén bien.

Anexos

Regla del trapecio.

Otra forma de calcular en forma iterativa el área bajo la curva, consiste en determinar trapecios en vez de rectángulos y calcular la suma del área de todos los trapecios determinados, luego repetir la operación con una mayor cantidad de trapecios (en general el doble) y cuando la diferencia de un resultado respecto del anterior sea menor o igual al error aceptado termina el proceso.

Determine una expresión que permita calcular el área de uno de esos trapecios, usando la notación del gráfico que sigue.

A continuación se muestra un ejemplo concreto a partir del ejemplo inicial.

Reflexione sobre la evolución del error y la cantidad de trapecios.

Compruebe el resultado para los dos primeros casos.

(*) De ser posible calcule en planilla de cálculo el área faltante. J