4.2 Obtención de puntos notables

Graficación de funciones polinómicas con el uso de derivadas.

Tenemos

f (x) = 6x +10

f ' (x) = 6

Graficamos ambas funciones, con lo cual obtenemos:

Sabemos que si en un intervalo , para todos los , entonces f(x) es creciente en ese intervalo.

Con lo cual sabemos que f(x)= 6x +10 es creciente, lo que además conocemos porque la pendiente es positiva.

Podemos notar que f'(x) es positiva.

Pensar:

* ¿ Existe algún caso donde la pendiente de la recta sea positiva y su derivada no ?

* ¿ Que sucede si la pendiente de f(x) es negativa?

Saque una conclusión:

Ahora tenemos:

f (x) =

f' (x) = 6x +10

f'' (x) = 6

Calculando obtenemos:

f (-3) = f(-1/3) = 0

f' (-5/3) = 0

Graficando, en la próxima página:

Responda:

. ¿ Cuál es la rama decreciente de f(x) ?

. ¿ Cuál es la rama creciente de f(x) ?

. ¿ En qué intervalo de x es creciente f(x) ?

. ¿ En que intervalo de x es decreciente f(x) ?

. ¿ Cuál es la rama negativa de f '(x) ?

. ¿ Cuál es la rama positiva de f '(x) ?

. ¿ En qué intervalo de x es positiva f '(x) ?

. ¿ En qué intervalo de x es negativa f '(x) ?

. ¿ En qué punto f(x) no es creciente ni decreciente ?

. ¿ En qué punto f'(x) no es positiva ni negativa ?

. ¿ En qué intervalo es cóncava (cóncava hacia arriba) f(x) ?

. ¿ En qué intervalo es creciente f'(x) ?

. ¿ Cuál es el punto extremo de f(x) ?, ¿ Es máximo o un mínimo ?

Graficar , g'(x) y g''(x), responder a las mismas preguntas.

Conclusiones: .........................................................................................................................

Si todavía quedan fuerzas:

f (x) =

f ' (x) =

f '' (x) = 6x +10

f ''' (x) = 6

Calculando obtenemos:

f (-3) = f(1) = 0

f ' (-3) = f(-1/3) = 0

f'' (-5/3) = 0

Graficando como en los casos anteriores:

Responder:

. ¿ Cuál será la/s rama/s decreciente/s de f(x)?,(observando f ')

. ¿ Cuál será la/s rama/s creciente/s de f(x) ? ,(observando f ')

. ¿ En cual/es intervalo/s de x es creciente f(x) ?(observando f ')

. ¿ En cual/es intervalo/s de x es decreciente f(x) ?,(observando f )

. ¿ En cual/es intervalo/s es cóncava (cóncava hacia arriba f(x) ?, (observando f ')

. ¿ En cual/es intervalo/s es convexa (cóncava hacia abajo) f(x) ?, (observando f ')

. ¿ En que punto/s de la gráfica f(x) no es cóncava ni convexa ?, ¿ Para cual/es valores de x sucede ?, (observando f')

. ¿ Cuál es la rama negativa de f '(x) ?

. ¿ Cuál es la rama positiva de f '(x) ?

. ¿ En qué intervalo de x es positiva f '(x) ?

. ¿ En qué intervalo de x es negativa f '(x) ?

. ¿ En qué punto f(x) no es creciente ni decreciente ?

. ¿ En qué punto f '(x) no es positiva ni negativa ?

. ¿ Cual/es es/son el/los punto/s extremo/s de f(x) ?

. ¿ Cómo es en ese punto el valor de f ''(x)

 

Luego se tiene la siguiente información sobre f(x):

Aplicamos la información obtenida y resumimos a continuación:

Luego, si se pide :

Optativo

Si todavía existen dudas sobre el proceso para graficar:

Paso a paso

Realice las correcciones necesarias a este texto.

Al finalizar complete con tres ejemplos más utilizando distintas funciones

Dada

sabemos por las técnicas vistas que:

Crecimientos:

Decreciente:

Creciente:

Extremos:

Mínimo : x = -2.48

Máximo : x = 2.68

Concavidades:

Cóncava:

Convexa:

Inflexión: x = 0.10

Signo:

Positivo:

Negativo:

Raíz: (5.68 ; 0.00)

Término independiente (0 ; 6.00)

Luego, para poder graficar calculamos los puntos de interés:

f( -4.00) = 4.9

f( -2.48) = 2.7

f( 0.00) = 6.0

f( 0.10) = 6.2

f( 2.68) = 9.7

f( 5.68) = 0.0

f( 7.00) = -12.8

Disponemos para graficar de un espacio de 12*7

Podemos razonar de la siguiente manera:

x en este gráfico tiene un recorrido de 7-(-4) = 11 unidades, 11:7= 1.57, es decir que cada intervalo del eje x deberá valer mas que este valor (¿por que?)

y en este gráfico tiene un recorrido de 9.7-(-12.8)= 22.5 unidades, 22.5:12 = 1.88, es decir que cada intervalo del eje y deberá valer.......... que este valor Justifique y compruebe, recién entonces analice el esquema obtenido a continuación.

Aquí sigue siendo válido el esquema de unir los puntos visto cuando se estudio función de segundo grado.

Una en el orden : fg; ef;de;cd;bc;ab.

Recuerde al unir el estudio realizado al comienzo..

Aquí se tomamos

A continuación graficaremos la misma función en solo necesitamos agregar:

f( -2.00) = 2.8

f( 2.00) = 9.2

Disponemos para graficar de un espacio de 6*12

Podemos razonar de la siguiente manera:

x en este gráfico tiene un recorrido de 2-(-2) = 4 unidades, 4 : 12= 0.33, es decir que cada intervalo del eje x deberá valer .........................(complete y justifique)

y en este gráfico tiene un recorrido de 9.7 -2.8 = 6.4 unidades, 6.4 : 6 = 1.07, es decir que cada intervalo del eje y deberá valer.......... que este valor Justifique y compruebe, recién entonces analice el esquema obtenido a continuación.

Aquí se tomó = 1/3 y = 2

A continuación graficaremos la misma función en solo necesitamos agregar:

f( -0.50) = 5.0

f( 1.00) = 7.9

Disponemos para graficar de un espacio de 10*8

Podemos razonar de la siguiente manera:

x en este gráfico tiene un recorrido de 1-(-0.5) = 1.5 unidades, 1.5:8 = 0.19, es decir que cada intervalo del eje x ..............

y en este gráfico tiene un recorrido de 7.9-5= 2.9 unidades, 2.9:10 = 0.29, es decir que........

En el primer caso se tomó =.......... y = ............ (Justifique)

En el segundo caso se tomó =..... y = ....... (Justifique)

Observe detenidamente las dos respuestas a la cuestión planteada y comente ambas soluciones. Genere otra que tenga la misma dimensión.

Solo si realizó los comentarios del punto anterior justifique la gráfica que sigue.

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Ahora sí, tendría que quedar claro que las soluciones más correctas (?) a los ejemplos dados son :

(Complete de manera adecuada y determine el que está mal resuelto):

(?) Note que "la manera más correcta" de presentar información es aquella que la hace más entendible. Discuta esta cuestión en base a los ejemplos dados.

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Resumiendo:

Se siguió el siguiente criterio:

Por medio de derivadas

Análisis de intervalos de crecimiento y concavidad

Análisis de puntos notables.

Evaluando la función:

El valor de f(x) en los extremos de intervalo

El valor de f(x) en los x notables

Con esta información se obtuvo:

Recorrido de x = xMax -xmin =

Recorrido de y = yMax -ymin =

Continúe -> Con la información anterior se obtuvo:

Fin de optativo

Ejercitación:

Graficar a partir de sus puntos notables:

Las gráficas que siguen son orientadoras, con el fin de verificar las respuestas y no están necesariamente en orden, ni muestran el nivel de detalle necesario..

Dos de ellas son prácticamente inadmisibles ¿cuáles?