Conceptos introductorios
Sabemos que en una función lineal su velocidad media de crecimiento está expresado por su pendiente. Una forma de expresar esto es: "la cantidad de unidades que crece y por cada unidad que crece x". Esta es la razón por la cual también se la denomina cociente incremental, esto es: el incremento de y sobre el incremento de x.
Luego:
En el caso particular de una función lineal este incremento es constante para cualquier par de puntos y para cada punto de la función.
Determine cualquier función del tipo y= m x +b, calcule la velocidad de crecimiento para varios pares de puntos.
Ahora pensaremos la misma cuestión para una función de segundo grado.
Siguiendo los datos de la gráfica que sigue calcule la velocidad media de crecimiento entre los puntos marcados.
En principio vemos que las
pendientes son distintas para cada segundo punto tomado y luego
observamos que no tenemos elementos para calcular la velocidad de
crecimiento en un punto. (
sería igual a cero por lo cual se anula cualquier posibilidad
de cálculo).
Observemos las gráficas que siguen a continuación:
Note que podemos hacer
tan
pequeño como necesitemos. Para simplificar la notación
llamaremos h a .
La pendiente de la recta secante a la curva, representará la velocidad media de crecimiento en el intervalo de x que estamos utilizando.
Luego la velocidad media de
crecimiento es no solo función del valor de x sino que
además está en función del valor de que
intervino en el cálculo.
Verifique esta cuestión en los cálculos realizados para hallar m en el primer gráfico.
Introduciremos una idea sobre el concepto de límite. Cuando decimos por ejemplo " el límite de tal expresión con el valor de x tendiendo a cero" lo expresaremos de la siguiente manera:
y significa que la diferencia entre el valor de x ( en la expresión) y cero es tan pequeña que es insignificante. En realidad es un número más pequeño que cualquiera que podamos imaginar.
Llamaremos Derivada de una función a:
Y la podremos anotar, entre otras de las siguientes formas:
En el ejemplo que desarrollamos más arriba, entonces:
Luego si 
,
entonces, 
. Esta es la forma que anotaremos de aquí en
más.
Si anteriormente hablamos de la recta secante a la curva, utilizando la misma terminología, ¿ Que nombre le podremos dar a la recta en cuestión ?
Empleando la misma metodología halle las derivadas correspondientes a:
* 
* 
* 
* 
* 
* 
Intente sacar algunas conclusiones a partir de una observación cuidadosa.
Verifique pensando en los conceptos de pendiente y velocidad media de crecimiento.
Reglas elementales para el cálculo de derivadas
1. Reglas principales para hallar derivadas
donde:
C: es una constante
,
, son
funciones derivables
1.=
2. (u v)' (u v)’ = u' v +u v ' u ’ v + u v’
3.
=
2. Tabla de las derivadas de funciones principales
Cree varios ejemplos y justifique en base a la tabla dada:
Comienzo de optativo
Derivación de funciones compuestas
(regla de la cadena)
Si 
y
=f(u) y u = g(x), es decir 
donde y u tienen derivada se tiene:
(1)
Lea:" ye derivada respecto de x es igual a ye derivada respecto de u por u derivada respecto de x"
Por ejemplo:
,
entonces hallar y'Hacemos:
luego, según lo expresado,
Aplique la propiedad distributiva para obtener un resultado final.
Eleve al cuadrado el trinomio, luego derive en forma habitual, verifique que los resultados sean iguales.
(1)
esta regla se puede
aplicar a cadenas de cualquier número finito de funciones
derivables. Determine que forma adopta para una cadena de tres
funciones, o sea, 
Derive:
Fin de optativo
