Funciones: polinómica

3.7 Función polinómica

Tenga presente que hasta el momento vimos funciones del tipo:

Lineal:

Cuadrática:

Que cuando vimos MCC la función lineal la expresábamos de la siguiente manera:

 

Una función polinómica tiene la forma:

y diremos que tiene grado n, es decir el mayor exponente al cual se halle elevada x.

La función será llamada incompleta si alguno de los ai es igual a cero.

En forma general también podemos verla escrita como:

Explique coloquialmente porqué las dos formas indicadas son equivalentes.

Si tenemos:

determine:

 

A continuación se propone que valorice los siguientes polinomios para los valores indicados de x. Por ahora no calcule los valores marcados con asterisco. Grafique a partir de los puntos obtenidos.

I
x
-
  
f(x)=
0
-8
0
0
2
  
f(-3.5)=
            
f(-3)=
            
f(-3.5)=
            
f(0)=
            
(*)f(0.629)=
            
f(2)=
            

II
x
-
  
g(x)=
0
1
0
-3
3
  
g(-3.5)=
            
g(-3)=
            
g(0)=
            
g(1)=
            
(*)g(-2.103)=
            
g(2.5)=
            
g(-1)=
            

III
x
-
  
h(x)=
0
2
3
-12
5
  
h(-3)=
            
h(2.5)=
            
h(-4)=
            
h(-3)=
            
h(0)=
            
h(1)=
            
h(2))=
            
(*)h(-3.449)=
            
(*)h(0.5)=
            
(*)h(1.449)=
            

 

 

 

IV
x
-
  
j(x)=
0
1
7
0
-36
  
j(-4)=
            
j(-3.5)=
            
j(2.5)=
            
j(-14/3)=
            
j(-7/3)=
            
j(0)=
            
(*)j(-3)=
            
(*)j(-2)=
            
(*)j(1.999)=
            

V
x
-
  
k(x)=
1
2
1
0
-1
  
k(-2)=
            
k(-1)=
            
k(-1/2)=
            
k(0)=
            
k(1)=
            
(*)k(-1.618)=
            
(*)k(0.618)=
            

 

 

Respuestas (a verificar):

 

Raíces

Aquí se desarrolla en forma completa el ejemplo visto en clase sobre cómo hallar una raíz de una función por el método iterativo de biyección de intervalos.

La cuestión radica en hallar un valor de x en

tal que y sea igual a cero.

Recordemos que por alguna razón sabemos que podemos hallar una raíz en .

Antes de seguir discuta largamente sobre el concepto de "entorno adecuado de la raíz" sobre el que se hizo hincapié durante la explicación.

Piense de qué manera podría encontrar otro/s intervalo/s más adecuado/s. Cítelos.

Nos proponemos hallar ese valor de x con un error menor a 0.001.

Analice paso a paso cuidando comprender todos los detalles y verificando todas las operaciones.

Este tipo de aproximación complicará un poco el cálculo pero reforzará el método a seguir.

Futura alegría: En próximos ejercicios trabajaremos aceptando errores mayores (Piense: ¿ mayores o menores ?)(De tres ejemplos de error mayor a 0.0001)

En todos los pasos determine además la variación de y, para tener más clara la noción de con que rango (entre números) está trabajando.

Otra más: es posible que colocar valores en distintos puntos del gráfico facilite la comprensión de una manera adecuada.

Verificación de comprensión: explique claramente por qué en este último paso en el gráfico se observa que el valor de la función es mayor (y no igual) a cero.

Seguimos verificando la comprensión:. Sabemos que esta misma función tiene otra raíz en . Encuéntrela.

Halle las raíces de las siguientes funciones en los intervalos dados, con un error menor a un décimo. Discuta si los límites de dichos intervalos son adecuados. Verifique con las gráficas obtenidas en los ejercicios sobre graficación de polinomios y complete los valores que habían sido dejados de lado . Más adelante discutiremos esta cuestión en forma completa.

 

Respuestas en orden creciente: -3.4, -3.0, -2.1, -1.6, 0.5, 0.6, 0.6, 1.4, 2.

Aplicación 3

Aplicación a funciones polinómicas

Como mencionamos la finalizar la Aplicación 2, siempre se pueden efectuar regresiones de grado hasta n-1, donde n es la cantidad de puntos observados. Por lo tanto en nuestro caso solo podemos aplicar hasta un polinomio de grado e, es decir una parábola. De todas maneras no está a nuestro alcance práctico realizar estimaciones para polinomios de otros grados.

Comienzo de optativo

A continuación se muestran dos polinomios de grado 2. Decida sobre cual obtiene un mejor r para nuestro ejemplo básico:

(Como al principio, tomamos los valores de x, como: 0,10 y 21)

Note que la expresión que antecede es la obtenida al ajustar la parábola teniendo en cuenta los "puntos extremos" de la serie.

Note que la expresión que antecede es la obtenida al ajustar la parábola teniendo en cuenta los tres puntos de la serie, por MCC y resolviendo el sistema de ecuaciones que origina la parábola que pasa por tres puntos. Ambos coinciden. ¿Por qué?

Aquí se comparan los observados - estimados en ambos casos, para que verifique sus resultados:

t
reales
N1(t)
N2(t)
0
46'150
46'150
46'150
10
81'385
65'703
81'385
21
128'272
128'271
128'272

Fin de optativo

Aquí se muestran tres ajustes realizados en base a cuatro puntos observados.

Como orientación se muestra el valor del r correspondiente a cada caso. Obténgalo.

En cada caso grafique los puntos observados y la función que determina los valores estimados. Para poder graficar correctamente los estimados tome puntos intermedios. Próximamente, al ver derivadas conocerá una técnica más simple para realizar la gráfica de una función polinómica.

En cuanto a este ejemplo, volveremos sobre el más adelante la tocar la noción de probabilidad, a partir del cálculo de áreas.

x
y
10
5
80
15
200
20
250
8

 

 

x
y
10
5
80
15
200
20
250
8

 

 

 

x
y
10
5
80
15
200
20
250
8

Regresión de grado 3

Ya se mostró como hallar los en regresiones lineales y cuadráticas.

Halle, por analogía, como armar un sistema de ecuaciones para realizar una regresión de grado 3.

Halle y grafique la mejor función de grado 3 que ajuste con los siguientes puntos:

A:(4;67), B:(3;30), C:(2;11), D:(5;128)

f(x)=……………………………………………………………

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