3.5 Función cuadrática

Graficación elemental de funciones de segundo grado

Si

Entonces

a= -1

b= -2

c= 3

Conocemos la expresión

que permite hallar las raíces en una función de este tipo.

(¿ Cómo se puede expresar esto de otra manera ? )

Entoces resulta:

A continuación se halla el valor de x que determina el eje de simetría de la función:

y el yv , reemplazando en la función:

Luego observando la función tomamos el valor del término independiente:

c= 3 (IV)

Como la función es simétrica, sabemos que a la misma distancia del eje de simetría (en este caso a la derecha) se halla el otro valor de x con y= 3.

(determine este valor de x mediante una expresión matemática, es muy sencillo)

Con lo cual determinamos:

x= -2 (V)

En resumen hallamos los siguientes puntos notables que nos permiten graficar:

I ( 1, 0 ) Raíz

II ( -3, 0 ) Raíz

III ( -1, 4 ) Vértice

IV ( 0, 3 ) Término independiente

V ( -2, 3 ) Simétrico del TI.

Ahora si graficamos:

Truco:

Una los puntos en el siguiente orden: IV-I,III-IV,V-II, III-V, luego repase el trazo, esto permite una línea mejor formada.

Responda a las siguientes cuestiones:

* Para cuál /es valor/es de x la función es

. positiva

. creciente

. cóncava

. cóncava hacia abajo

. decreciente

. menor que cero

. negativa

. convexa

. mayor que cero

. cóncava hacia arriba

* cuál es su y máximo

* cuál es su y mínimo

* cuál es su x máximo

* cuál es su x mínimo

* cuál es su punto máximo

* cuál es su punto mínimo

Ahora bien, ¿ que hacer cuando no existen raíces reales ? (¿ cómo se puede expresar esto de otra manera ?)

Grafiquemos:

que (compruebe) no tiene raíces reales.

Una buena idea (¿por qué?) es por ejemplo averiguar para que valor de x , g(x) vale seis.

con lo cual tenemos:

Y entonces obtenemos los valores de las "raíces en seis" y podemos proceder como en el caso anterior. A la carga.

Pruebe con otras funciones de este tipo creadas por Ud.

Elabore otro criterio, a partir de la simetría con el TI.

Cuando vimos función lineal se observó, por ejemplo que m determina la "velocidad de crecimiento" de la función. Al ver la función de segundo grado, se explicó que el signo de a determina el sentido de la curvatura.

Realice varias experiencias y determine:

* ¿ Qué se puede decir de la velocidad de crecimiento de una parábola ?

* ¿ Qué es lo que hace variar la apertura de la parábola ?

* ¿ En que influye el valor de b?

* ¿ Qué característica tiene en su expresión una parábola cuyo eje de simetría coincide con el eje y ?

* ¿ Qué característica tiene en su expresión una parábola cuyo eje de simetría coincide con el eje x ?

* ¿ Cómo se aprueba esta materia ?

* ¿ En qué casos no se necesita de la fórmula tradicional para determinar las raíces ?

(Responda también las cuestiones del grupo anterior)

En la próxima página se muestran todas las parábolas posibles que tengan a, b y c igual a 1,0 y 1 (a–0).

Saque conclusiones sobre:

a- la concavidad a partir del signo de a

b- a partir de la combinación de a y b

Las gráficas que siguen (, el valor de a está indicado en cada figura) saque conclusiones sobre el "grado de concavidad" a partir del valor de a.

Resuelva las siguientes ecuaciones de segundo grado. Tache los resultados, en la matriz que sigue, a medida que resuelve. Ahora los resultados están colocados en "orden", vecinos, lateral, vertical o diagonalmente. Luego de resolverlas, grafique cada una de las ecuaciones y el/los puntos que sean solución. (preste mucha atención).

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Paso a paso

Supongamos que tenemos que graficar en un espacio de 10*10, aprovechándolo al máximo.

En primer lugar obtenemos, mediante los procedimientos ya vistos los puntos de interés:

Esto nos permite identificar los valores máximos y mínimos de x y de y a tener en cuenta.

Luego sabemos que x[0.00; 16.00], y[-6.30;6.50].

Por lo tanto sabemos el recorrido de cada variable: R(x):16.00, R(y): 12.8

Esto nos brinda .

Con lo cual podemos ya marcar la escala en nuestro gráfico.

Luego dado que en este caso es posible, mostrar el punto origen de coordenadas (0;0).

A continuación marcaremos los puntos de interés.

Para terminar uniendo los puntos de manera habitual (no olvide el truco contado antes).

Marque con claridad los cinco puntos notables de las parábolas que siguen.

Ajuste la escala correspondiente en cada caso. En los casos que sea posible los ejes en el punto (0;0). Justifique la importancia de este ejercicio.

Algunas verificaciones:

x[0.00; 5.00], f(x)[-1.25; 5.00]

x[-1.44; 0.44], g(x)[0.00; 7.00]

t[-1.00; 0.60], f(t)[-3.20; 0.00]

t[-4.00; 0.00], g(t)[-0.5; 2.5]

x[-3.00; 1.00], h(x)[-4.00; 0.00]

r[-0.93; 3.59], m(r)[0.00; 15.33]