3.4 Aplicación MCC

Conceptos previos

Comenzamos aquí la aplicación de los conocimientos adquiridos respecto de función lineal. Utilizaremos los mismos datos que se muestran luego para ejemplificar otro tipo de funciones.

Al explorar las respuestas obtenidas después de cada tipo de forma de resolución aparecerán, sin duda dos tipos de preguntas:

¿ Siempre son válidos los resultados obtenidos ?

¿ Qué forma de resolución es el más adecuada ?

La respuesta a la primera pregunta la da la Estadística,- al tratar Intervalos de confianza - para indicar hasta que valores de variable son factibles de aceptar los resultados obtenidos con un determinado grado de error, desde un punto de vista matemático.

En cuanto a la segunda pregunta la respuesta, en general, la tiene la disciplina dentro de cuyo marco se mueve el problema. Es allí donde especialistas e investigadores, que conocen y manejan el fenómeno estudiado determinan la adecuación del modelo aplicado.

Nuestro objetivo, al intentar resolver los problemas planteados no es enseñar Estadística ni Demografía sino mostrar simplemente una de las posibles aplicaciones, vinculadas con la realidad, de los temas estudiados, para su mejor observación, comprensión y análisis.

Si tiene clara la idea de porcentaje puede saltear lo que sigue.

Comienzo del optativo

Nociones básicas sobre porcentaje

Sabemos que si en una cuenta bancaria nos pagan el 5% anual de interés y depositamos 100 pesos, al cabo de un año habremos acumulado 5 pesos en concepto de interés. En otras palabras depositamos nuestro capital a una tasa del 5% anual.

¿ Qué quiere decir esto exactamente ?

Que por cada 100 pesos que tengamos depositados obtendremos 5 pesos.

Supongamos que tenemos para depositar un capital de 1'314.56 y nos ofrecen una tasa del 4% anual. Queremos averiguar cuál es el monto que tendremos al cabo de un año.

Si nos ofrecen 4 pesos por cada 100 que depositemos es razonable pensar que lo primero que tenemos que averiguar es:" ¿ Cuántos 100's depositamos ?"

entonces:

por cada una de estas veces nos darán 4 pesos, por lo tanto recibiremos

y si ahora queremos saber a cuánto asciende nuestro depósito le deberemos sumar el capital inicial:

Formalicemos estas operaciones :

Donde:

M: monto

C: capital

I: interés

Lo primero que hicimos

esto es, obviamente lo mismo que:

si efectuamos el cociente obtenemos:

o anotado de otra manera

donde 4% es la tasa anual que nos ofrecen.

Note que existe cierta diferencia que necesita de su comprensión. (el 5% anual de interés y una tasa del 4% anual ) en los dos enunciados vistos.

Sigamos:

O sea:

Donde t es la tasa,( C*t = I)

Veamos otro ejemplo:

Habito un departamento de . Compré otro . ¿ En que porcentaje aumentó la superficie en la que voy a habitar ?

= 1 + p

= p

0.3472 =34.72%

Luego mi superficie habitable aumentó en un 34.72%

Verifique este resultado: aumente en un 34.72% la superficie del primer departamento.

Fin del optativo

Se recuerda que se utilizarán siempre los datos y preguntas que siguen en las aplicaciones.

Se muestra a continuación los valores de la población del Partido de Escobar (Pcia. de Bs. As.) en los censos de 1970, 1980,1991.

(*) en realidad las tomas de datos no fueron registradas exactamente la misma fecha, pero a nuestros efectos pensaremos que los datos han sido relevados con exactamente un año de diferencia y que ese valor es representativo de la población.

Solo trabajaremos con los datos del Total y Ud. sacará conclusiones, respondiendo a las mismas preguntas para Varones y Mujeres.

En todos los casos se deducen las expresiones para determinar:

N(0) : número de habitantes en el momento inicial

N(t) : número de habitantes en el momento t

r : tasa de crecimiento por unidad de tiempo

t : cantidad de períodos de tiempo transcurridos

td : tiempo que tarda en duplicarse la población

 

Aplicación a Función lineal

Por ahora pensamos que desconocemos el dato de 1980.

Piense que esta cuestión es análoga a averiguar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos.

Recordemos la forma general: f(x) = mx +b

Queremos saber en que proporción aumentó la población en el período. Luego:

entonces:

Recordemos que debemos restar 1 si queremos conocer la tasa.

Luego:

Es decir que en el transcurso de 21 años la población se incrementó en un 177.9%.

Si suponemos que el crecimiento se ha dado en forma constante en la cantidad de períodos (el crecimiento es equidistribuído ), entonces debemos dividir ese valor por 21:

Es decir que cada año la población se incrementó en un 8.47%.

En definitiva si queremos conocer la tasa de crecimiento anual:

A partir de esta expresión si queremos despejar N(t) tendremos:

ordenando:

donde podemos observar la forma lineal y = mx +b , donde la pendiente (m) es el producto de N(0) r, la variable (x) es la cantidad de períodos t y el término independiente (b) es N(0).

Podemos resumir utilizando :

* Determine N(0) cuando existen los demás datos.

* Determine t cuando existen los demás datos.

* Determine la cantidad de períodos necesarios para duplicar la población de N(0).

* Aplique las expresiones halladas a los datos del problema.

* Estime la población para 1980 y saque conclusiones.

* Grafique los puntos observados y la recta hallada, en el esquema de la página siguiente. Saque conclusiones.

 

Regresión lineal.

Si queremos utilizar las tres mediciones no podemos utilizarlos, en general, con lo visto hasta ahora.(¿ por qué ?)

El método que se propone a continuación tiene la ventaja de utilizar las tres mediciones obtenidas. La idea es hallar la mejor recta que represente a los puntos observados. Se lama mejor recta a una que haga mínima la diferencia entre los puntos observados y estimados. (En realidad se hace mínima la suma de los cuadrados de estas diferencias y esto se explicará brevemente en clase).

La recta en cuestión será de la siguiente forma:

Leeremos como y estimado. Atención no confundir los valores y del par ordenado (x;y), que son valores observados

Entonces:

La forma de cálculo se muestra a continuación:

Luego:

Note que la dificultad aparente reside básicamente en el orden de los números que tratamos, no en la complejidad del cálculo.

Esto lo podemos resolver en parte de la forma que sigue, si tomamos la precauciones debidas al utilizar los datos obtenidos.

Interprete cuál es la modificación realizada.:

Luego:

Observe que la pendiente es la misma. Justifique la variación del término independiente.

Si ya se le ocurrió que para simplificar más los cálculos manuales se le puede restar 46'150 a cada valor de y, está en lo cierto. Lo que también es cierto es que habrá que tener mucho más cuidado al utilizar los datos obtenidos.

Sucede pese a que hemos hallado la "mejor recta que representa a esos puntos", esto no garantiza que la estimación sirva.

(La mejor suma de dinero que dispongo para comprarme un auto en este momento es U$S 30)

Para determinar "el grado en que y está explicada por x" utilizaremos un indicador llamado r (se lee ro)

 

 

y tomará valores entre cero y uno.(0 <= r =< 1). Cuanto más próximo a uno mejor será la estimación obtenida. Observe que un cociente próximo a uno indica similitud entre numerador y denominador. Como regla general se desechan las estimaciones con un r menores a 0.9+

Leeremos como y medio.( o y promedio). Es decir el promedio aritmético entre todos los valores de y. Para nuestro caso: (46'150 + 81'385 + 128'385 )/3 = 85'269

Lo cual es - obviamente - una estimación muy buena.

Grafique valores observados y recta de regresión. Compare con el gráfico anterior.

Grafique los puntos observados, la recta de regresión y las diferencias observados - estimados para cada punto. Interprete y explique.

Explique coloquialmente la diferencia con el método de la recta que pasa por dos puntos.

Realice la misma ejercitación ahora tomando solamente varones.

Realice la misma ejercitación ahora tomando solamente mujeres.

Realice un gráfico con las tres estimaciones. Comente coloquialmente.

Recuerde que todas las calculadoras científicas - generalmente en su opción STD- pueden , dados dos o más punto(x;y), hallar el valor de:

Ud. puede (debe) utilizarla para verificar el cálculo manual, que es indispensable en esta etapa del aprendizaje.

Esta aclaración también vale para su planilla de cálculo, generalmente utilizando la función NEST(...) o ESTIMACIONNEAL(....) etc.(dependiendo de marca, idioma ....)