Cuatro problemas, algo complejos, resueltos.
Cuatro problemas, algo complejos, resueltos.
1) La recta AB es tangente a la circunferencia de centro O en el punto A. Dicha circunferencia tiene 9 centímetros de diámetro. C pertenece a la circunferencia y el segmento CB mide las dos terceras partes del radio de la circunferencia. Determinar si el área sombreada es mayor, igual o menor que la de la cuarta parte del círculo.
Dado que OA=4,5cm
y
resulta:
OB=4,5cm+3cm=7,5cm
Luego (aplicando el teorema de Pitágoras por ser el triángulo OBA rectángulo, dado
que la tangente resulta perpendicular al radio en el punto de tangencia) es
de donde el área sombreada será
Calcularemos ahora el área del círculo
p(4,5)2=20,25p
luego el área de un cuarto del círculo es
5,0625p
y como
5,0625p>13,5 (pues p>2,666...)
La respuesta es que el área sombreada es menor que el área de la cuarta parte del círculo.
2) Calcular el área exacta de la figura sombreada, sabiendo que ABCDEF es un hexágono regular, inscripto en la circunferencia de centro O, que la longitud de la misma es de 24 pi cm y que el ángulo ASE es recto.
El trapecio isósceles BEDC tiene por área 3 veces la del
triángulo equilátero EOD o sea : 
El triángulo rectángulo ABS tiene por área :
El área sombreada resulta entonces: 
3 . Calcular el área exacta de la zona sombreada si : la curva interior es arco de la circunferencia de centro O ; la curva exterior es arco de la circunferencia de centro O’ ; las rectas BO y AO son perpendiculares y el segmento OA mide 4 metros.
o sea que 
El semicírculo de centro O’ tiene área de 
o sea 4p m2 .
El cuarto de círculo de centro O tiene área 
.
La diferencia entre este cuarto de círculo y el triángulo AOB es la zona no sombreada:(4p-8)m2
La diferencia entre el semicírculo y la zona no sombreada es la "media luna" : 8m2.
La suma entre las áreas de la "media luna" y el triángulo AOB es el área pedida : 16 m2.
4. Una correa continua corre, en torno de dos ruedas, de manera que éstas giran en sentidos opuestos. Las ruedas tienen 3 cm y 9 cm de radio y la distancia entre sus centros es de 24 cm. Determinar con error menor que 0,01 cm la longitud de la correa.
Los triángulos OAP y PDO’ son semejantes. Si llamamos x al segmento OP
resulta :
de donde x = 18 cm.
Si llamamos y1 al segmento AP, aplicando el teorema de Pitágoras al
triángulo OAP resulta 
cm; y si lo aplicamos al triángulo O’BP, llamando y2
al segmento PB resulta y2 = 
cm.
Como el segmento AB = y2 + y1 será la medida del
segmento AB de 
cm.
Además, la tangente del ángulo convexo AOP (cateto opuesto sobre cateto adyacente) es
igual a y1 / OA. Por lo tanto dicha tangente vale 
, o sea ese ángulo mide 60 grados.
Luego el ángulo cóncavo AOC mide 240°.
de donde resulta que la medida
del segmento AC es de 12p cm.
Análogamente la medida del segmento BD = 4p cm.
Luego será: AC + BD + 2AB = 
cm.
Con 
la respuesta es :
91,83 cm.